GEOMETRÍA PLANA

En este nuevo capítulo vamos a estudiar los diferentes teoremas de Geometría Plana, que son necesarios para la resolución de problemas posteriores. Primero vamos con una pequeña introducción, para que sepas el contenido y la importancia de este capítulo.

Conceptos Básicos:


Proposicion: es un enunciado o juicio el cual solo puede originar uno y solo uno de los términos verdadero o falso. Las proposiciones más comunes que se utilizan son: axiomas, postulados, teoremas y corolarios.

Axiomas: es una verdad que no requiere demostración y se la cumple en todas las ciencias del conocimiento.

Postulados: es una proposición aceptada como verdadera. A diferencia de los axiomas, estos se los emplea generalmente en geometría, los mismos que no se han constituido al azar, sino que han sido escogidos cuidadosamente para desarrollar la geometría .

Teorema: es la proposición cuya verdad necesita ser demostrada: una vez que el teorema se ha probado se lo puede utilizar para la demostración de otros teoremas, junto con axiomas y postulados.

Un teorema consta de: hipótesis y tesis:

Hipótesis: son las condiciones o datos del problema.
Tesis: es la propiedad a demostrarse.

Corolario: es la consecuencia de un teorema demostrado.

Razonamiento Logico: cuando una persona se empeña en una "reflexión clara" o en una reflexión rigurosa, está empleando la disciplina del razonamiento lógico.

Demostraciones: es un conjunto de razonamientos que demuestra la verdad de la proposición junto con axiomas y postulados. Una demostración bien elaborada solo puede basarse en proposiciones antes demostradas, la demostración también es necesaria para fundamentar la generalidad de la proposición que se demuestra.

Por medio de las proposiciones, las verdades geométricas se reducen a un sistema armonioso de conocimientos científicos.

La demostración formal de un teorema consiste en cinco partes:

1. El enunciado del teorema.
2. Hacer un gráfico que ilustre el teorema.
3. Una afirmación de lo que es el dato (s) en términos del gráfico ( hipótesis ).
4. Una afirmación de lo que debe probarse ( tesis ).
5. Demostración: Es una serie de razonamientos lógicos establecidos mediante definición, axiomas y postulados aceptados y teoremas probados en anterioridad. Toda demostración debe constar de afirmaciones y razones.

TEOREMAS

Teorema 1

Partes Homólogas: llámese partes homólogas en dos figuras iguales o de una misma forma, las que están semejantemente despuestas en dos figuras.

Congruencia: dos figuras son congruentes, cuando pueden hacerse coincidir en todas sus partes; esto es, cuando son iguales.

Teorema 2

 Teorema 3

 Teorema 4

 Teorema 5

 Teorema 6

 Teorema 7

 Teorema 8

  Teorema 9

  Teorema 10

  Teorema 11

  Teorema 12

  Teorema 13

  Teorema 14

  Teorema 15

  Teorema 16

  Teorema 17

  Teorema 18

  Teorema 19

  Teorema 20

  Teorema 21

  Teorema 22

  Teorema 23

  Teorema 24

  Teorema 25

  Teorema 26

  Teorema 27

  Teorema 28

  Teorema 29

  Teorema 30

  Teorema 31

  Teorema 32

  Teorema 33

  Teorema 34

A continuación vamos a estudiar 5 teoremas del círculo, pero antes una breve introducción:

Un círculo, en geometría, es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio. Es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una circunferencia.

Elementos:

El círculo comparte con la circunferencia sus elementos principales: el centro, el radio, el diámetro, etc.

El círculo comparte con la circunferencia que lo delimita los siguientes elementos:
Centro del círculo, que se corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los puntos de esta.y de un punto salen varios rayos y de dos salen uno rayo y así sucesivamente.
Radio: es el segmento que une el centro con un punto de la circunferencia perimetral.
Diámetro: es el segmento que une dos puntos de la circunferencia pasando por el centro y parte el círculo definido por ésta en dos partes iguales. También puede ser definido como dos radios que forman un ángulo de 180º, los radio se unen en el medio de la circunferencia.
Cuerda: es el segmento que une los extremos de un arco.

Teorema 1 

 Teorema 2

 Teorema 3

 Teorema 4

 Teorema 5

FUNCIONES DE LA SUMA Y RESTA DE ÁNGULOS

Hoy nos dedicaremos a determinar relaciones para las funciones trigonométricas de la suma y de la diferencia de dos ángulos, o sea, demostraremos lo siguiente:

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Para la demostración de la suma de ángulos, utilizaremos la siguiente figura, que nos permite obtener lo que queremos, o sea, una suma de

Amplificando ambas fracciones por una cantidad conveniente tenemos:



Luego:  

Te dejamos la demostración del coseno de tarea y determinaremos a continuación la






Ahora, para determinar las funciones trigonométricas con la diferencia de ángulo, nos basaremos en la siguiente figura:

Análogamente, puedes demostrarlo para coseno y tangente.

Resumiendo aquí tienes las fórmulas que utilizarás para los ejercicios: